Calculadora de Combinaciones (nCr)

Las combinaciones responden a la pregunta: '¿De cuántas formas puedo elegir r elementos de un grupo de n si el orden en que los elijo no importa?' Se escribe como C(n, r), nCr o el coeficiente binomial (n sobre r).

La distinción clave está entre combinaciones y permutaciones. Si eliges 3 personas de un grupo de 10 para un comité (donde no importa quién es primero, segundo o tercero), usa combinaciones: C(10, 3) = 120. Pero si asignas a 3 personas los cargos de Presidente, Vicepresidente y Tesorero (donde el orden importa), usa permutaciones: P(10, 3) = 720.

Las combinaciones aparecen por todas partes en probabilidad, estadística y la vida cotidiana. Las probabilidades de lotería se calculan con combinaciones (elegir 6 números de 49). En genética, cuentan las combinaciones de genes posibles. En los juegos de cartas, determinan el número de manos posibles.

La fórmula usa factoriales (n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 1). Para valores grandes, los números crecen muy rápido — C(50, 25) supera los 126 billones, por eso las loterías son tan difíciles de ganar. Como se ignora el orden, un recuento de combinaciones siempre resulta menor que el recuento de permutaciones correspondiente, y esa diferencia se amplía a medida que r crece.

Cómo funciona

Fórmula: C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)

El n! del numerador cuenta todas las ordenaciones posibles de los elementos. Como una combinación ignora el orden, se divide entre r! para borrar las distintas ordenaciones de los r elementos elegidos, y entre (n−r)! para borrar las ordenaciones de los que quedan fuera. Lo que resta es el número de grupos distintos. Las permutaciones omiten el paso de r!, ya que allí el orden sí importa, por eso siempre superan a las combinaciones.

Cuándo usarla

Usa la calculadora de combinaciones siempre que cuentes de cuántas maneras se puede elegir un grupo de elementos cuando el orden no importa. Es la operación detrás de las probabilidades de lotería (elegir 6 números de 49), del número de manos posibles en los juegos de cartas y de la formación de comités o equipos a partir de un conjunto mayor de candidatos. En genética ayuda a contar combinaciones de genes, y en estadística aparece en la distribución binomial y en el cálculo de probabilidades de muestreo. También resulta útil al diseñar experimentos o degustaciones, donde se seleccionan varias opciones de un catálogo. La herramienta muestra además las permutaciones, de modo que puedes comparar de inmediato el recuento con y sin orden y elegir el que corresponde a tu problema concreto.

Consejos y consideraciones

La decisión clave es si el orden importa: si da igual la disposición de los elementos elegidos, usa combinaciones; si el orden distingue un resultado de otro (cargos, podios, contraseñas), necesitas permutaciones, que siempre dan cifras mayores. Introduce solo enteros no negativos y procura que r no supere a n, porque elegir más elementos de los disponibles da cero. Aprovecha la simetría C(n, r) = C(n, n−r) para simplificar: elegir 48 de 50 equivale a elegir 2. Ten presente que el resultado crece con enorme rapidez, así que incluso valores moderados producen cantidades astronómicas. Y no confundas una combinación con una probabilidad: contar las formas posibles es solo el numerador o el denominador del cálculo probabilístico, no la probabilidad en sí.