Calculadora de Permutaciones

Una permutación es un arreglo ordenado de elementos, y la calculadora de permutaciones te dice cuántos arreglos ordenados distintos son posibles cuando seleccionas r elementos de un conjunto de n elementos distintos. El orden importa en las permutaciones, que es lo que las separa de las combinaciones: el arreglo AB se cuenta como diferente de BA. Esta calculadora usa la fórmula nPr igual a n factorial dividido entre el factorial de n menos r, y devuelve el conteo total. La intuición es sencilla. Al llenar la primera posición tienes n opciones, para la segunda posición quedan n menos una opciones, para la tercera n menos dos, y así sucesivamente hasta haber llenado las r posiciones. Multiplicar esas cifras decrecientes da el número de arreglos ordenados, que la fórmula factorial captura de forma compacta. Por ejemplo, elegir y ordenar 2 elementos entre 5 da 5 por 4, que son 20 permutaciones. Las permutaciones aparecen siempre que la secuencia o el ranking importan: el número de formas de otorgar medallas de oro, plata y bronce, los posibles órdenes de una contraseña, o las disposiciones de asientos alrededor de una mesa. Esta calculadora exige que n y r sean números enteros de cero o más, y r no puede superar a n, ya que no puedes ordenar más elementos de los que tienes. Estudiantes de probabilidad y combinatoria, junto con cualquiera que cuente arreglos u órdenes, usan una calculadora de permutaciones para evitar multiplicaciones tediosas.

Cómo funciona

Fórmula: nPr = n! ÷ (n − r)!

Una permutación cuenta de cuántas formas puedes ordenar r elementos elegidos entre n elementos distintos cuando el orden importa. La fórmula n factorial dividido entre n menos r factorial funciona porque hay n opciones para la primera posición, n menos uno para la segunda, y así sucesivamente hasta n menos r más uno para la última, y multiplicar esas cifras es exactamente lo que calcula la razón de factoriales. Dividir entre n menos r factorial cancela los arreglos de los elementos que no seleccionaste.

Cuándo usarla

Usa esta calculadora cuando el orden de los elementos importe y quieras contar de cuántas maneras puedes disponer r objetos elegidos entre n. Es habitual en problemas de probabilidad y combinatoria, pero también en situaciones cotidianas: el número de podios posibles de oro, plata y bronce en una carrera, las formas de ordenar a los finalistas de un concurso, las secuencias posibles de un código o de los dígitos de una cerradura, o las disposiciones de asientos alrededor de una mesa. La clave para decidir si necesitas permutaciones, y no combinaciones, es preguntarte si cambiar el orden produce un resultado distinto; si AB cuenta como diferente de BA, son permutaciones. Introduce n, el total de elementos disponibles, y r, cuántos seleccionas y ordenas. Ambos deben ser enteros, con r nunca mayor que n, ya que no puedes ordenar más elementos de los que tienes.

Consejos y consideraciones

El punto que más confunde es distinguir permutaciones de combinaciones: si el orden no cambia el resultado, como al elegir un comité, debes usar combinaciones, que dan un número menor. Aquí el orden sí cuenta. Tanto n como r deben ser enteros no negativos, y r no puede superar a n; si lo hace, la calculadora no devuelve resultado porque no tiene sentido ordenar más elementos de los disponibles. Recuerda que cero factorial vale uno, por lo que cuando r iguala a n el resultado es simplemente n factorial, el mayor conteo posible. Las permutaciones crecen muy deprisa: incluso valores modestos de n producen cifras enormes. La fórmula supone que los n elementos son todos distintos; si hay elementos repetidos e indistinguibles, el conteo real es menor y hay que dividir por las permutaciones de los repetidos.